Hachis de patates douces avec oignons caramélisés, saucisses et œufs

Name: hachis de patates douces avec oignons caramélisés, saucisses et œufs
Ingredients: 900 gram yellow onions ( about 2 large or 4 small ); 4 cuillères à soupe de beurre non salé, ghee ou huile d'olive, divisée; Sel casher; Saucisses italiennes non cuites ou chorizo mexicain de 400 grammes, sans boyaux; 1,3 kg de patates douces non pelées (environ 7,66 grosses ou 15 à 18 petites), coupées en centimètres; 6 grosses gousses d'ail émincées; Feuilles de 2 longs brins de romarin frais, émincés; Poivre noir fraichement moulu; 8 ou plus gros œufs; Sel casher; Poivre noir fraichement moulu; Parmesan (facultatif)